Derivadas Parciales y Relaciones Asociadas

Muchas de las expresiones que demuestran más adelante, se basan en el postulado de estado, mismo que indica que el estado de una sustancia simple compresible se especifica por completo mediante cualquiera de las dos propiedades intensivas independientes. 

En este caso, la función f depende de x más para valores de x mayores. La inclinación de una curva en un punto se mide por medio de la pendiente de una recta tangente a la curva en ese punto, y es equivalente a la derivada de la función en dicho punto definida como Derivadas Parciales

Todas las demás propiedades en ese estado pueden expresarse en términos de esas dos propiedades. En términos matemáticos, esto es

La variación de z(x, y) con x cuando y se mantiene constante se llama derivada parcial de z respecto a x, y se expresa como

Fórmula: 

*No se utiliza los moles (n) en la fórmula ya que la constante R está dividida para el número de moles.

Tomando en cuenta los límites cuando Δx →0 y Δy →0 y utilizando las definiciones de derivadas parciales, se obtiene

Esta ecuación es la relación fundamental para la diferencial total de una variable dependiente en términos de sus derivadas parciales respecto de variables independientes. Esta relación puede expresarse fácilmente para incluir más variables independientes. También se puede reescribir de la siguiente manera:

Relación de Derivadas Parciales: Ecuaciones Exactas

Luego de reescribir la ecuación, se obtuvo que

Al tomar la derivada parcial de M respecto a y, y de N con respecto a x, se obtiene

El orden de la derivación no tiene importancia para las propiedades, dado que son funciones de punto continuas y tienen derivadas exactas. Por consiguiente, las dos relaciones anteriores son idénticas:

Ésta es una relación importante para las derivadas parciales, y se emplea en cálculo para probar si una diferencial dz es exacta o inexacta.

Nota: puesto que todas las propiedades termodinámicas de una sustancia quedan determinadas por el estado en cuestión, todas las propiedades tienen una diferencial total exacta.

Relaciones de Derivadas Parciales

En algunas circunstancias es conveniente relacionar a varias propiedades termodinámicas por ejemplo P = P(T,V)  ; T =T(S,V)

Ejemplo abstracto

FUENTE: Cengel, Yunus .A. & Boles, Michael A. (2011). Termodinámica. México: Mcgraw - Hill